"Lenta la neve fiocca, fiocca, fiocca...." (Giovanni Pascoli, L'orfano)

E' Natale.

L'albero illuminato, i regali adagiati attorno. Il presepe animato di statue. E fuori, una distesa bianca. La neve: con i suoi segreti matematici da brivido!

Un fiocco di neve, infatti, è un oggetto frattale. Interrotto, deviato. Che mal sopporta le forme della geometria di Euclide e il linguaggio del calcolo differenziale.

Per dare un'idea, un frattale è una figura in cui la parte riproduce il tutto. Questa caratteristica è l'auto-similarità (self-similarity). Il termine frattale è stato coniato nel 1975 dal matematico francese Benoît Mandelbrot, e deriva dal latino fractus (= spezzato), così come il termine frazione.

La dimensione frattale misura il grado di irregolarità e interruzione di un oggetto: e può essere una frazione o un numero irrazionale.

Numerosi sono gli esempi, in Natura, di forme simili ai frattali. Per esempio, un albero, come l'abete, in cui ogni ramo è approssimativamente simile all'intera pianta e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo. Oppure, un fiocco di neve.

Che si costruisce a partire da un triangolo equilatero, nel modo seguente:

a) dividete ogni lato del triangolo equilatero in 3 parti uguali, e su quella centrale costruite un altro triangolo equilatero. Otterrete una stella a sei punte;

b) ripetete per ogni lato della stella l'operazione compiuta per il triangolo precedente;

c) iterate il procedimento all'infinito.

Si ottiene una curva chiusa, detta curva di von Koch (dal nome del matematico svedese che la studiò per primo, nel 1906).

Essa non è differenziabile, è di area finita ma di perimetro infinito (provate a dimostrare queste due affermazioni, per diletto). Inoltre, è descritta come limite di una serie di curve spezzate, definite in maniera ricorsiva.

E la sua dimensione frattale è pari a log 4 / log 3 = 1,2618....

In conclusione... auguri e buon Natale frattale da tutta la redazione di Thriller Magazine!

"... i frattali hanno delle corrispondenze con la struttura della mente umana. Ed è per questo che la gente li trova così familiari. Questa familiarità è ancora un mistero e più si approfondisce l'argomento più il mistero aumenta" (Benoit Mandelbrot)